資産運用の目安 「72の法則」を導出してみました
おはようございます。
資産運用について調べていくと、すぐに72の法則を目にすると思います。
72の法則とは、複利運用した場合に、元金が倍になる年数を簡単に求める方法です。具体的には72を年利で割れば、元金が倍になる年数を計算することができます。
例えば、年利6%で複利運用した場合、元金が倍になるまでの年数を計算します。この場合、72/6[%] = 12年で元金が倍になります。
ところで、この72の法則、何で72なのだろうと疑問に思いませんか?
ちょっと疑問に思ったので、72の法則を導出してみました。
72の法則の導出
元金と利子の合計がN倍になるまでの年数
- 元金をA
- 年利をr [%]
- 年数をT [年]
元金Aを年利r [%]で複利運用した場合、T年後の元金と利子の合計額を計算すると、下記となります。
A( 1 + r/100 )^T
T年後の元金と利子の合計額が、元金のN倍と等しくなる年数を求めます。
72の法則は2倍になるまでの時間なので、N = 2の場合になります。
A( 1 + r/100 )^T = NA
上記の式を計算していきます。
まず、左右両辺を元金Aで割ります。
( 1 + r/100 )^T = N
元金がN倍になるまでの年数Tを求めたいので、左辺が"T ="の形になるように式を展開してきます。
左右両辺の対数をとります。後の計算の関係上、対数の底はネイピア数eでとります。
T * ln( 1 + r/100 ) = ln N
ln(1 + r/100)ですと計算しにくいので、マクローリン展開します。
r/100は、通常1以下の小さい数字になるので、下記のように近似できます。(r/100が1以上だと、年利 100%以上になってしまいます。)
ln( 1 + r/100 ) ～ r /100
T * r/100 = ln N
したがって、複利で年利rで運用した場合、元金のN倍になるまでの年数Tは、下記となります。
T = ln N / (r/100)
元金と利子の合計が2倍になるまでの年数 (72の法則)
72の法則は、元金と利子の合計が元金が2倍になる場合です。
なのでN = 2の場合を計算すれば、72の法則を導出することになります。
ここでln2 をエクセルで計算すると、ln2 ～ 0.69です。
T = ln 2 / (r/100)
T = 0.69 / (r/100)
T = 69 / r
72の法則を導くことができました。
72の法則という名前なのに、72ではなく69となっていますね。調べてみたところ、これは計算ミスではないようです。。
69だと割り切れる数字が少なく使いにくいということで、69に近くて割り切れる数が多い72が、通常使われているとのことでした。
確かに69だと、3と23くらいしか割り切れる数字ありませんからね。
ところで72の法則は、導出途中でテイラー展開で近似を行っています。
近似しているけれども、72の法則は本当に正しいのかと思い、元金が倍になるまでの年数の理論値と、72の法則で導出した年数を比較してみました。
それが下のグラフです。
横軸を年利にして、年利を色々振ってみましたが、72の法則で求めた年数と理論値のラインがほぼ一致しています。
72の法則で、かなり精度よく元金が倍になるまでの年数を計算できるようですね。
元金が3倍になるまでの年数は?
元金が2倍になるまでの年数は、72の法則で求めることができました。
それでは、元金が3倍になるまでの年数は、どうでしょうか?
元金がN倍になるまでの年数で求めた下記の式に、N=3を代入すれば計算できます。
T = ln N / (r/100)
ln3をエクセルで計算すると、1.1になります。
したがって元金が3倍になるまでの年数は、110を年利で割れば計算できます。
元金が3倍になるまでの年数は、一般には115の法則と呼ばれているようです。72の法則と同じく、115と110で数字が違っていますね。115の方が取り回しが良いのでしょうか?
同じく元金が4倍、5倍・・・10倍、100倍になる年数を計算してみました。
下の表の数字を、年利で割ると計算することができます。
| 年利で割る数 | 備考 | |
| 2倍 | 69 | 72の法則 |
| 3倍 | 110 | 115の法則 |
| 4倍 | 139 | |
| 5倍 | 161 | |
| 6倍 | 179 | |
| 7倍 | 195 | |
| 8倍 | 208 | |
| 9倍 | 220 | |
| 10倍 | 230 | |
| 100倍 | 461 |
表をよく見ると、元金が10倍になる年数の倍の年数で、元金が100倍になることがわかります。
あらためて複利って恐ろしいですね。
